摘要：混沌——非线性动力系统中一种复杂的运动现象,其普遍存在于自然界中,关于混沌理论及其应用的研究,已然成为...混沌——非线性动力系统中一种复杂的运动现象,其普遍存在于自然界中,关于混沌理论及其应用的研究,已然成为现代非线性科学研究中重要的前沿课题之一.相较于混沌现象,超混沌现象具有更强的随机性和不可预测性,因而具有更加复杂的动力学性质.而隐藏的超混沌吸引因子(hidden hyperchaotic attractor)在工程应用中具有极为重要的意义,譬如在桥梁或飞机机翼这样的结构中,隐藏超混沌吸引因子的出现可能意味着有意料之外或潜在的事故发生.因此,在实际应用中,研究超混沌系统具有广阔的发展前景.Segmented disc dynamo(SDD)系统是研究电磁场的三维二次方的Stokes流,其表述了磁场流的径向扩散(radial diffusion).由于磁场在星体内部及星体之间的星际空间中广泛存在,研究它们在天体物理上具有重要的意义.随着研究的深入,人们发现三维混沌系统在描述电磁场时具有一定的局限性,因此我们将目光转向高维超混沌系统.本文基于SDD系统,提出了高维SDD型超混沌系统,并对所提出系统的动力学性质进行了深入地分析,包括运用中心流形、规范型及Lyapunov函数等动力学理论与方法,研究了平衡点的稳定性、Hopf分岔与叉形分岔,证明了该超混沌系统的最终有界性,并给出了最终有界集估计,探讨了超混沌吸引子、混沌吸引子、周期吸引子及它们之间的共存现象.本文的主要研究内容安排如下:第一章为绪论,论述了本文的研究背景及意义、混沌与超混沌理论的研究历史与现状,并概述了segmented disc dynamo、隐藏吸引子、最终有界集估计等相关知识.第二章在segmented disc dynamo的基础上,提出一个四维SDD型超混沌系统.通过Lyapunov指数谱、分岔图等途径来定量地表征该系统超混沌的存在性.当该系统具有一条平衡点直线(a line of equilibria)或稳定的平衡点这两种类型的平衡点时,均可产生共存的隐藏混沌与超混沌吸引子.利用含参中心流形理论及分支理论,研究了该系统的局部动力学性质,譬如平衡点稳定性、Hopf分岔及叉形分岔等.通过结合Lyapunov函数法与适当的优化方法证明了系统的最终有界性,并给出了它的椭球边界估计,从而获得了系统的全局动力学性质.最后,通过数值模拟来验证和可视化相应的理论结果.第三章提出了一个五维segmented disc dynamo型系统,该系统具有三个正Lyapunov指数.有趣的是,当该系统具有一条平衡点直线(a line of equilibria)、一个稳定的平衡点或没有平衡点这三种类型的平衡点时,系统均有隐藏的混沌与超混沌吸引子共存.当系统有一个不稳定的平衡点时,发现系统有自激的(self-excited)混沌与超混沌吸引子共存.运用微分方程几何理论、中心流形定理及分岔理论,研究了系统的Hopf分岔和叉形分岔,获得了两种分岔存在的条件及分岔的方向.通过将Lyapunov函数方法与适当的最优化方法相结合,研究了该系统的最终有界性,并对系统吸引子在相空间中的位置进行了有效地估计.不仅利用数值模拟对局部分岔和最终有界集估计相对应的理论结果进行了验证,还利用集成电路元件对系统进行了电路实现.更多还原显示全部
摘要：非线性科学作为一门新兴的交叉学科,它的研究发展使人们对自然界的认识从线性领域进入到非线性领域,分岔和...非线性科学作为一门新兴的交叉学科,它的研究发展使人们对自然界的认识从线性领域进入到非线性领域,分岔和混沌是非线性科学研究的重要内容.分叉研究的是某些拓扑结构发生改变的现象,而同宿轨及异宿轨在这些现象中又扮演着关键作用.混沌普遍存在于自然界中,其复杂的动力学已成为前沿的课题之一,超混沌相比于混沌的吸引子轨道会在更多的方向上发生分离,因此其动力学行为更加复杂,不可预测性和随机性也更强,这使得超混沌具有非常广阔的研究前景.Stretch-Twist-Fold(STF)流是研究电磁场的三维Stokes流,由于磁场在星体内部及之间广泛存在,研究它们在天体物理上具有重要的意义.STF流描述了磁场流在磁场中被拉伸,扭曲,折叠而产生磁能的机制.本文首先研究了三维STF-Like流系统,利用假设检验检验系统是否存在混沌.接着研究了系统的异宿轨分岔,Hopf分岔,叉型分岔及电路模拟.然后提出了五维含有立方项的STF流,系统不仅有三个正的Lyapunov指数,而且有三种奇点类型下的共存隐藏吸引因子.同时研究了系统的Hopf分岔,叉形分叉及电路模拟.本文的主要内容如下:第一章为绪论部分,主要介绍了研究背景,发展现状,简要介绍了分岔理论,混沌理论及隐藏吸引子,最后介绍了本文的主要研究内容.第二章基于STF流,提出了STF-like流系统.通过Monte Carlo null hypothesis test,也称为surrogate data method来研究了混沌,这种方法利用假设检验来检验系统是否存在混沌,可以作为传统检验手段如Lyapunov指数,Poincaré截面图,分支图的一个补充.求出了系统两条精确的异宿轨,分别研究了它们的异宿轨分岔,给出了存在的条件和存在的区域.研究了系统的Hopf分岔,得到了分岔出的周期解的稳定性,研究了叉型分岔,获得了分岔存在的条件和分岔的方向.数值模拟证实了理论的结果.最后设计出了数字模拟电路来验证该系统的可行性.第三章提出了一个五维隐藏超混沌STF流系统,该系统不仅含有立方项,还具有三个正Lyapunov指数.在不同的参数条件下,系统具有三种类型的隐藏吸引子共存:(1)系统具有一条平衡点直线(a line equilibrium)下的周期吸引子与隐藏超混沌吸引子共存.(2)系统具有唯一稳定平衡点下的隐藏混沌与超混沌吸引子共存.(3)系统无平衡点下的拟周期吸引子与隐藏超混沌吸引子共存,及隐藏超混沌与混沌吸引子共存.还研究了系统的Hopf分岔,不仅获得了分岔存在的条件和方向,还给出了分岔出的周期解的稳定性.对系统的叉型分岔,也给出了分岔存在的条件和分岔的方向.数值模拟证实了理论的结果.更多还原显示全部
