摘要：混沌——非线性动力系统中一种复杂的运动现象,其普遍存在于自然界中,关于混沌理论及其应用的研究,已然成为...混沌——非线性动力系统中一种复杂的运动现象,其普遍存在于自然界中,关于混沌理论及其应用的研究,已然成为现代非线性科学研究中重要的前沿课题之一.相较于混沌现象,超混沌现象具有更强的随机性和不可预测性,因而具有更加复杂的动力学性质.而隐藏的超混沌吸引因子(hidden hyperchaotic attractor)在工程应用中具有极为重要的意义,譬如在桥梁或飞机机翼这样的结构中,隐藏超混沌吸引因子的出现可能意味着有意料之外或潜在的事故发生.因此,在实际应用中,研究超混沌系统具有广阔的发展前景.Segmented disc dynamo(SDD)系统是研究电磁场的三维二次方的Stokes流,其表述了磁场流的径向扩散(radial diffusion).由于磁场在星体内部及星体之间的星际空间中广泛存在,研究它们在天体物理上具有重要的意义.随着研究的深入,人们发现三维混沌系统在描述电磁场时具有一定的局限性,因此我们将目光转向高维超混沌系统.本文基于SDD系统,提出了高维SDD型超混沌系统,并对所提出系统的动力学性质进行了深入地分析,包括运用中心流形、规范型及Lyapunov函数等动力学理论与方法,研究了平衡点的稳定性、Hopf分岔与叉形分岔,证明了该超混沌系统的最终有界性,并给出了最终有界集估计,探讨了超混沌吸引子、混沌吸引子、周期吸引子及它们之间的共存现象.本文的主要研究内容安排如下:第一章为绪论,论述了本文的研究背景及意义、混沌与超混沌理论的研究历史与现状,并概述了segmented disc dynamo、隐藏吸引子、最终有界集估计等相关知识.第二章在segmented disc dynamo的基础上,提出一个四维SDD型超混沌系统.通过Lyapunov指数谱、分岔图等途径来定量地表征该系统超混沌的存在性.当该系统具有一条平衡点直线(a line of equilibria)或稳定的平衡点这两种类型的平衡点时,均可产生共存的隐藏混沌与超混沌吸引子.利用含参中心流形理论及分支理论,研究了该系统的局部动力学性质,譬如平衡点稳定性、Hopf分岔及叉形分岔等.通过结合Lyapunov函数法与适当的优化方法证明了系统的最终有界性,并给出了它的椭球边界估计,从而获得了系统的全局动力学性质.最后,通过数值模拟来验证和可视化相应的理论结果.第三章提出了一个五维segmented disc dynamo型系统,该系统具有三个正Lyapunov指数.有趣的是,当该系统具有一条平衡点直线(a line of equilibria)、一个稳定的平衡点或没有平衡点这三种类型的平衡点时,系统均有隐藏的混沌与超混沌吸引子共存.当系统有一个不稳定的平衡点时,发现系统有自激的(self-excited)混沌与超混沌吸引子共存.运用微分方程几何理论、中心流形定理及分岔理论,研究了系统的Hopf分岔和叉形分岔,获得了两种分岔存在的条件及分岔的方向.通过将Lyapunov函数方法与适当的最优化方法相结合,研究了该系统的最终有界性,并对系统吸引子在相空间中的位置进行了有效地估计.不仅利用数值模拟对局部分岔和最终有界集估计相对应的理论结果进行了验证,还利用集成电路元件对系统进行了电路实现.更多还原显示全部
摘要：量子参数估计是量子系统中有关物理量测量和统计推断的一门学科.其被广泛应用量子陀螺仪、量子频标、引力波...量子参数估计是量子系统中有关物理量测量和统计推断的一门学科.其被广泛应用量子陀螺仪、量子频标、引力波探测、原子钟、量子成像以及量子雷达等领域.如何利用量子资源提高系统参数的估计精度是量子参数估计的核心课题.本文基于开放系统,重点研究了量子参数估计精度的提高和数值计算.第一章回顾了量子参数估计的发展历程,同时介绍了参数估计极限和估计精度的表示方法.在第二章中,主要介绍了研究量子参数估计所需的数学基础.以Fisher信息和Cramér-Rao不等式为核心,介绍了经典和量子参数估计精度的定义及其关系.并分别介绍了描述开放量子系统动力学演化的Lindblad方程和随机主方程.此外,本章还简要介绍了研究过程中需要用到的一些数学知识,包括多维It?公式、Metropolis Hastings算法和Makov Chain Monte Carlo积分.在第三章中,以耗散率为未知参数,研究了一个有损耗玻色信道在线性和Kerr型非线性哈密顿量控制下的量子参数估计问题.参数估计精度在哈密顿量控制下有所提高,但控制的加入却会引起系统量子态的显著形变.因此,本章提出了一个多目标模型用于优化两个冲突的目标:(1)最大化Fisher信息即提高参数估计精度;(2)最小化系统态的形变即保持其保真度.最后,通过一个简化的ε–约束模型证明了哈密顿控制在提高量子参数估计精度方面的可行性.第四章通过连续弱测量探讨了电路量子电动力学系统中的量子参数估计问题.为降低计算的复杂性,本章首先证明了非归一化量子态的随机主方程可以转化为归一化量子态的随机主方程,此时Fisher信息可以表示成对数似然函数的形式.基于Metropolis Hastings算法和Markov chain Monte Carlo积分方法,本章提出了一种数值计算Fisher信息的新算法,并通过仿真说明了该算法的可行性和有效性.此外,基于所提算法,本章初步探讨了测量算符和测量效率对Fisher信息的影响.文章的最后是全文的总结与展望.更多还原显示全部
