导　　师： 李用声

授予学位： 博士

作　　者： (）;

机构地区： 华南理工大学

摘　　要： 非线性Schr?dinger方程一直是偏微分方程的一个研究热点.特别是近五十年以来,随着调和分析和集中紧方法的引入,主要以著名数学家Bourgain,Tao,Kenig和Merle的重要工作使得该方程的研究得到了长足发展.本文主要研究两类非线性Schr?dinger方程(组)的适定性和爆破,即四阶非线性Schr?dinger方程的局部适定性的最佳正则性指标和二阶非线性Schr?dinger方程组的整体适定性和爆破.非线性Schr?dinger方程的差异主要是体现在非线性项的结构上,从而表现出不同的适定性和爆破行为.第二章研究四阶非线性Schr?dinger方程i(?)tu +(?)x4u = u2,(t,x)∈[0,T]× R的局部适定性.对于更低正则性问题的研究,已知的Bourgain空间Xs,b已经不再适用,为此我们依据非线性项的特殊性质来引入一个权函数,得到了一个修正的Bourgain空间.通过建立一些精细的双线性估计,并充分利用卷积的Young不等式和Holder不等式等工具,得到了最佳的正则性指标.即证明了此方程的Cauchy问题在Hs(R)空间中,当正则性指标s 2-2时,是局部适定的,而当s<-2时,在解映射不连续的意义下是不适定的.第三章研究二阶非线性Schr?dinger方程组在L2(Rn)空间中的局部适定性和爆破.首先,利用压缩映像原理证明了此方程在L2(Rn)空间中的局部适定性.然后,利用试验函数方法和弱解,得到了一个重要的积分不等式,再通过选取满足一定结构条件的初值,即使初值可以任意小,我们得到了当非线性指标满足1

关 键 词： 四阶非线性 方程 二阶非线性 方程组 适定性 爆破 弱解

领　　域： []