导　　师： 吴新元;Arieh Iserles

授予学位： 博士

作　　者： ;

机构地区： 南京大学

摘　　要： 本论文研究多频高维二阶振荡常微分方程初值问题的几何积分方法,其中M是隐含该系统振荡频率的d×d维半正定矩阵,.fRd→Rd是充分光滑的。由于线性项Mq的出现,使得该系统具有显著的结构特征,并且由矩阵M的半正定性导致该系统的解是一个多频高维非线性振子。该系统广泛存在于物理学、天文学、分子动力学、经典和量子力学、电子工程等应用科学领域,例如某些轨道计算问题、与时间无关的薛定谔方程、由波动方程借助于线方法(method of lines)得到的时间依赖的耦合常微分方程组、Fermi-Pasta-Ulam问题等都具有系统(1)的形式。因为该系统呈现了显著的振荡或高振荡特征,所以传统的算法,例如经典的Runge-Kutta型方法和线性多步法都不能给出正确的量化性态。即便是一些已有的几何积分法,如辛算法或对称方法,仍然不能有效地求解这类振荡问题。因此近年来针对有效求解多频振荡问题算法的研究受到越来越多的关注。 在过去的十多年中,大多数的研究集中在单频振荡问题其中ω>0是已知频率或可以精确估计的频率。然而多频高维振荡系统(1)是更加复杂的耦合系统,单频问题的算法一般不适用于求解多频问题,主要原因体现在以下两个方面。第一、求解单频问题方法的系数都是依赖于u=ωh,而多频振荡问题(1)中M是一个d×d维矩阵,隐式地包含了多个不同的频率,因此求解单频问题的方法不能应用于多频振荡问题(1)。第二、多频振荡问题(1)本身具有耦合条件,使得针对单频问题的一些分析推导不能直接推广至多频问题,例如本论文第3章中得到的针对多频问题方法的辛条件,就比针对单频问题方法的辛条件要多一些额外的耦合条件。因此求解多频高维振荡系统(1)几何积分方法的研究是一个新的重要的挑战。 因此在本论文中,我们系统地研究求解多频高维二阶振�

关 键 词： 几何积分方法 多频高维振荡系统 二阶常微分方程 常数变易公式 方法 方法 辛条件和对称条件 有根树 阶条件 误差界 改进的 算法 保能量方法 三角傅里叶配置法 型渐近方法

领　　域： [理学] [理学]