导　　师： 朱伟勇

学科专业： H1202

授予学位： 博士

作　　者： ;

机构地区： 东北大学

摘　　要： 混沌分形理论被认为是继相对论、量子力学之后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性的第三次革命．混沌分形理论的基本思想起源于20世纪初，是一门正在蓬勃发展的新学科．它描述的是一个充满创新的、开放性的世界，是一个极其复杂的世界．其研究对象也不再是有着确定性规律的单一事件，而是伴随着大量的不确定性和随机性的动力系统，甚至是人类社会以至宇宙这样的超级系统．混沌分形理论以全新的自然观和方法论，为我们描述了一个有序与无序统一的、确定性与随机性统一的、即自相似又非自相似的、即完全又不完全的、即稳定又不稳定的世界．这是一个遵循辩证法规律的和谐统一的世界．今天，混沌分形理论、计算机科学理论的结合，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大作用．其作用涉及到几乎整个自然科学和社会科学．混沌分形已被认为是研究非线性复杂问题最好的一种语言和工具．并受到各国政府及学者的重视和公认，成为举世瞩目的学术热点． 在混沌分形理论的形成与发展过程中，针对具体的问题人们提出了许多特殊的解决办法．如：几何化的庞加莱的拓扑动力学、柯尔莫哥洛夫的统计方法、费根鲍姆的重整化群以及数值化的泛函分析等．这些方法在混沌分形理论的研究中起到了重要作用．随着人们认识的深入以及理论研究的进展，这些方法也在逐步地完善，并形成一些新的更为有效的方法和手段． 本文在研究过程中所采用的指导思想和方法是导师朱伟勇教授所大力提倡的计算机数学实验．这是一个利用数理统计、拓扑、泛函分析、重正化群、频谱分析、复数与超复数理论(hamilton四元数)等诸多数学原理与计算机技术相结合的新方法．利用这一研究方法，在基于复空间中m-j混沌分形图谱研究的基础之上，研究高维广义复空间中的m-j混沌分形图谱，力求使大量的数值化的数学计算与图形化几何化的结构分析完美地结合，展现出m-j混沌分形图在高维广义复空间中的结构与性质．为更进一步揭示混沌分形的内在本质，以及混沌分形理论在科学领域中的更进一步应用提供研究基础． 本文的主要工作和创新点包括如下内容： (1)在对复空间以及广义复空间中mandelbrot集和julia集的研究基础之上，利用四元数及其性质，将基于参数平面的mandelbrot集和基于动力平面julia集的可构造性推广到一个高维广义复空间中，构造了一系列高维空间中mandelbrot集和julia集图像． (2)根据现有的空间理论以及研究成果，在度量空间和范数的基础上建立了基于hamilton四元数运算体系上的广义复数巴拿赫空间．并在这一空间上，定义了四元数的m集和j集，为在高维空间中对广义m集和j集的进一步研究提供了一个初步的研究结果． (3)针对高维空间中的m集，利用四元数的性质，对四元数构造的m集的界作出了估计，得到了高维空间中四元数m集的界，即对于四元数的f<(m,w)>(q)=q<'m>+w的m集m<,m>有界，其界为四元数的模不大于m-1平方根2．对于四元数m集的界进行估计，可以提高计算机程序的效率，特别是在利用逃逸时间算法绘制四元数m集和四元数j集的时候，一个有效的界的估计可以大大提高搜索范围的有效性，从而可以节省大量的运算时间和存贮空间来得到更为细致的四元数混沌分形图谱． (4)基于空间变换的思想，利用单纯形坐标体系下的投影变换得到了四维bannach空间与三维euclid空间的对应关系，并应用这一对应关系，在国内首次独立构造了基于单纯形投影变换的高维广义m集和j集，得到了四维空间中四元数m集与j集在三维空间中的映像．为分形理论在多维动力系统的研究与发展，提供了一个有益的探讨和尝试． (5)对复空间中的准周期点(misiurewiz点)和准周期轨道作了深入研究，并将这一研究推广到了高维空间中．在高维空间中四元数m集中发现了周期点、misiurewiz点的存在，为在高维空间中进一步研究m集的周期点、misiurewiz点性质作了有益的尝试． (6)综述了fibonacci序列是通向混沌的又一途径．fibonacci序列是构成混沌分形图谱的本质，同时也揭示了混沌分形图谱拓扑不变性的规律．随着fibonacci序列的增加，周期数也由有理数向无理数过渡，最终形成介于有理数(可数)与无理数(不可数)之间的混沌过程．

关 键 词： 高维广义复空间 混沌分形图谱 计算机数学

分 类 号： [TP301.6]

领　　域： [自动化与计算机技术] [自动化与计算机技术]