导　　师： 向淑晃

学科专业： G0104

授予学位： 博士

作　　者： ;

机构地区： 中南大学

摘　　要： 很多应用领域，高振荡积分问题是一个非常重要的研究课题，比如在量子化学、图象分析、电动力学、正电子发射型断层扫描术、单光子发射型断层扫描术、流体力学等问题的计算中，其核心就是研究高振荡积分的高效计算方法。然而，当振荡频率远远超过积分结点的数目时，经典积分方法对应用广泛的高振荡积分，例如傅立叶（fourier）变换、贝塞尔（bessel）变换等问题的数值计算将失去效用。因此，本文把求解高振荡积分的新型、高效数值算法作为研究目的。 第一章简述了高振荡函数的定义及常见形式；然后列举了高振荡积分的一些应用及现有的一些高效算法，比如filon方法、filon型方法、levin方法、levin型方法、渐近法、广义积分方法以及数值最速下降法。 第二章通过使用多重高频率fourier积分的表达式，针对不规则振荡因子的高振荡函数积分，提出了一个新型有效的参数方法。如果g（x）有驻点，通过一个简单的代换，驻点可以被忽略掉。方法的有效性通过具体的算例进行了测试。 第三章利用bessel函数的渐近公式，将bessel变换转化成fourier变换，再结合huybrechs等提出的数值最速下降法，对bessel变换给出了一个高效高阶算法。 第四章运用bessel函数的递进关系式d（xvjv（x））/dx=xvjv-1（x），结合分部积分法，给出了一个简单、新型高效的渐近方法，即bessel函数渐近法。 第五章应用同伦扰动方法讨论bessel函数积分。将积分问题转化成求解微分方程问题，利用扰动技术，将方程的解写成序列形式（），通过构造一个简单的同伦，得到所有的序列项，即方程的解为（）。 第六章主要讨论向量值高振荡积分问题。在同伦扰动方法的基础上，得到了高振荡函数向量值同伦扰动数值积分方法，并对方法的误差进行了分析，获得方法和levin迭代方法在初值为常数的情况下是一致的。

关 键 词： 高振荡积分 数值算法 变换 积分 函数渐近法 误差分析

分 类 号： [O241.83]

领　　域： [理学] [理学]